Date Редакция Категория comp Теги maxima / cas

Рассмотрим уравнение линейного гармонического осциллятора (попросту -- колебания груза на пружине) без учёта трения

$$ m\frac{d^2 x}{d t^2} + kx = 0 . $$

Запишем это уравнение в системе Maxima:

assume(k>0,m>0)$
eq1:ode2(m*'diff(x,t,2)+k*x,x,t);

В функции assume() перечислены предположения относительность параметров уравнения: жёсткость пружины и масса груза положительны. ; означает вывод, а $ -- запрет вывода результатов выполнения команды на экран.

Функция ode2() находит аналитическое решение данного уравнения. Её общий вид:

ode2(ДУ,искомая_функция,независимая переменная)

Выражение, служащее решением уравнения, сохраняется в переменной eq1. Двоеточие : задаёт операцию присваивания.

Вот как выглядит выполнение этих команд в системе Maxima:

sol_eq1.png

Решение ОДУ при заданных начальных условиях (решение задачи Коши) получаем с помощью функции ic2(). Двойка в имени функции означает, что она предназначена для работы с уравнениями 2-го порядка.

ic2(решение_ДУ,нач_значение_независимой_переменной,нач_усл_1,нач_усл_2)

ic_eq1.png

Таким образом, начальная координата груза равна {\(x=-2\)} (пружина сжата), а начальная скорость его движения {\(\dot x = - 0.1\)} (то есть направлена в сторону сжатия пружины).

Построим график решения при заданных начальных условиях

plot2d(rhs(sol2),[t,0,50]);

sol2.png

Функция rhs() нужна, чтобы выбрать из выражения {\(x = f(x,t)\)} его правую часть -- {\(f(x,t)\)}. [t,0,50] означает, что независимая переменная t изменяется на интервале [0,50]. Однако, на этом интервале не видно уменьшения координаты {\(x\)}, которое должно наблюдаться в самом начале движения. Поэтому рассмотрим более короткий интервал -- первые полсекунды

plot2d(rhs(sol2),[t,0,.5]);

sol2_2.png

Теперь рассмотрим уравнение осциллятора с учётом трения

$$ m\frac{d^2 x}{d t^2} + f\frac{d x}{d t} kx = 0 . $$

Добавочное предположение о положительности коэффициента трения {\(f\)} не избавляет от вопросов системы. Нужно указать знак дискриминанта характеристического уравнения

sol_eq2.png

Найдём решение задачи Коши и построим его график

ic_eq2.png

sol3.png



Комментарии

comments powered by Disqus