Сокращенный перевод-пересказ статьи: Thomas Jakobsen. Advanced Character Physics, Gamasutra, January 21, 2003.

Введение

В статье описаны основы подхода к моделированию движения объектов, который удобно применять в компьютерных играх. Этот подход прост, реализующие его программы работают быстро и достаточно устойчиво. Кроме того, для понимания его основ не требуется особых математических знаний (хотя сам подход имеет под собой твердые математические основания). С его помощью можно моделировать движение тканей, мягких и твердых тел, а также тел с учетом связей.

Физическое моделирование, т. е. моделирование движения персонажей, основанное на законах физики (а точнее — механики), изучается достаточно давно. В литературе (см. [Baraff, Mirtich, Witkin] и др.) предлагаются различные подходы, много усилий вложено в создание точных и надежных алгоритмов. Точные методы моделирования движения известны в физике уже давно. Однако для игр и систем виртуальной реальности, точность — не самое главное достоинство (хотя хорошо, когда она есть). Гораздо важнее правдоподобие (программист может искажать модель реальности сколько угодно, лишь бы при этом ему удалось увлечь игрока) и скорость выполнения (на выполнение расчетов по моделированию движения отводится лишь часть времени, которое длится кадр анимации). В случае физического моделирования, термин "правдоподобие" подразумевает также устойчивость: нельзя признать удачным метод моделирования, при котором тела проникают сквозь препятствия или подпрыгивают, когда должны лежать неподвижно. Методы, описанные в данной работе, разрабатывались в первую очередь для достижения правдоподобия и скорости расчета. Они имеют высокую производительность и достаточно просты в реализации (по крайней мере, в сравнении с другими методами, решающими те же задачи).

Рассматриваемый метод является итеративным, так что, начиная с определенного шага, он может быть остановлен в любой момент. Это дает возможность выбирать между точностью расчетов и затраченным временем: если некоторая величина погрешности считается приемлемой, коду можно разрешить работать быстрее; причем величина погрешности может подбираться адаптивно во время выполнения. Метод также обрабатывает столкновения и контакты покоя (resting contact) и справляется с моделированием стопки сложенных друг на друга тел, что для многих физических движков является проблемой.

Успех применения метода складывается из правильного комбинирования и использования преимуществ нескольких техник:

  • метода численного интегрирования Верле;
  • обработки столкновений и проникновения тел при помощи проецирования (by projection);
  • простого решателя связей (constraint solver), использующего релаксацию;
  • аппроксимации квадратного корня, повышающей скорость вычислений;
  • моделирования твердых тел, как частиц, соединенных связями.

К каждой из указанных техник мы дадим короткое пояснение. При написании этого документа, автор старался сделать его доступным для максимально широкой аудитории, не потеряв при этом существенной информации, необходимой для реализации. Это означает, что математические объяснения и обоснования сведены к минимуму, если только они не имеют решающего значения для понимания предмета. Цель работы состоит в том, чтобы продемонстрировать возможности реализации довольно продвинутого и устойчивого метода физического моделирования, не утонув в математических тонкостях.

Содержание организовано следующим образом. В разделе 2, описано представление системы частиц без использования скорости. Такое представление имеет ряд преимуществ, из которых наиболее существенными являются устойчивость и простота реализации связей и других ограничений (constraints). В раздел 3 описано, как происходит обработка столкновений. Затем, в разделе 4, система частиц дополняется связями, позволяющими моделировать движение ткани. Раздел 5 объясняет, как настроить систему связанных между собой частиц для моделирования твердого тела. Далее, в разделе 6, показано как реализовать соединения между телами (в частности, шарниры). Раздел 7 содержит различные короткие заметки и некоторый опыт по реализации трения.

В дальнейшем, векторы обозначаются буквами со стрелочками, а их компоненты — нижними индексами: \(\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)\).

Метод интегрирования Верле

Сердцем симуляции (т. е. имитации физического процесса при помощи компьютерной системы) является система частиц. Обычно, при реализации такой системы предполагается, что каждая частица имеет две основные характеристики: координату (положение, position) \(\vec{x}\) и скорость \(\vec{v}\). Тогда, новые значения координат \(\vec{x}^\prime\) и скорости \(\vec{v}^\prime\) вычисляются по формулам

$$ \begin{aligned} \vec{x}^\prime &= \vec{x} + \vec{v} \Delta t, \\ \vec{v}^\prime &= \vec{v} + \vec{a} \Delta t, \end{aligned} $$

где \(\Delta t\) — шаг по времени, \(\vec{a}\) — ускорение, вычисленное в соответствии со 2-м законом Ньютона \(\vec{f}=m \vec{a}\) (где \(\vec{f}\) — суммарная сила, действующая на частицу). Приведенные формулы реализуют простейший метод численного интегрирования — метод Эйлера.

Мы рассмотрим другое описание частицы, в котором скорость не используется: вместо хранения положения и скорости каждой частицы, мы будем сохранять текущее положение частицы \(\vec{x}\) и ее положение на предыдущем шаге интегрирования \(\vec{x}^{*}\). Предполагая шаг интегрирования постоянным, получим следующие формулы для вычисления новых значений:

$$ \begin{aligned} \vec{x}^\prime &= 2\vec{x} - \vec{x}^{*} + \vec{a} \Delta t^2, \\ \vec{x}^{*} &= \vec{x}. \end{aligned} $$

Этот способ численного интегрирования называется методом Верле (см. [Verlet]) и активно используется в молекулярной динамике.

Метод Верле опирается на приближенную формулу вычисления второй производной

$$ \frac{\Delta^2 \vec{x}}{\Delta t^2} = \frac{ \frac{\vec{x}^\prime - \vec{x}}{\Delta t} - \frac{\vec{x} - \vec{x}^{*}}{\Delta t} }{\Delta t} = \frac{\vec{x}^\prime - 2\vec{x} + \vec{x}^{*}}{\Delta t^2} = \vec{a} $$

Такое приближение не является самым точным (есть и более совершенные методы численного интегрирования), зато оно устойчиво и работает быстро. Уменьшая коэффициент 2 до, скажем, 1.99, мы тем самым вводим силу сопротивления, рассеивающую энергию системы. Отметим также, что \(\vec{x}-\vec{x}^{*}\) — это расстояние, пройденное за последний шаг интегрирования (\(\vec{v}\Delta t\)).

В конце шага интегрирования текущее положение каждой частицы \(\vec{x}\) сохраняется в соответствующей переменной \(\vec{x}^{*}\) для использования на следующем шаге. Если частиц в системе много, то вместо копирования их координат удобно использовать перенаправление указателей.

Код, реализующий описанные выше идеи, может выглядеть так (класс Vector3 содержит все необходимые операции над векторами)

class ParticleSystem {
   Vector3    m_x[NUM_PARTICLES];    // Текущее положение
   Vector3    m_oldx[NUM_PARTICLES]; // Предыдущее положение
   Vector3    m_a[NUM_PARTICLES];    // Суммарная сила (ускорение)
   Vector3    m_vGravity;            // Гравитация
   float      m_fTimeStep;
public:
   void       TimeStep();
private:
   void       Verlet();
   void       SatisfyConstraints();
   void       AccumulateForces();
// (конструкторы, инициализацию полей и т.п. опустим)
};
// шаг интегрирования методом Верле
void ParticleSystem::Verlet() {
   for(int i=0; i<NUM_PARTICLES; i++) {
      Vector3& x = m_x[i];
      Vector3 temp = x;
      Vector3& oldx = m_oldx[i];
      Vector3& a = m_a[i];
      x += x-oldx+a*fTimeStep*fTimeStep;
      oldx = temp;
   }
}
// суммирование сил, действующих на каждую частицу
void ParticleSystem::AccumulateForces()
{
// Все частицы находятся под действием гравитации
   for(int i=0; i<NUM_PARTICLES; i++) m_a[i] = m_vGravity;
}
// проверка соблюдения наложенных связей
void ParticleSystem::SatisfyConstraints() {
// Сейчас нам не важно, как это реализовано.
}
// шаг расчета
void ParticleSystem::TimeStep() {
   AccumulateForces();
   Verlet();
   SatisfyConstraints();
}

Пока все описанное выше выглядит не очень-то впечатляюще. Преимущества этого подхода станут ясны, как только мы перейдем к использованию связей и к описанию твердых тел.

Попробуйте задать \(\vec{a}=(0,0,1)\) и начальные условия \(\vec{x}=(1,0,0)\), \(\vec{x}^*=(0,0,0)\). Вычислите вручную несколько шагов и посмотрите, что получится.

Столкновения и обработка контактов при помощи проецирования

Способы обработки контактов между телами, основанные на использовании штрафных функций (penalty-based schemes), предполагают, что в месте контакта, где возможно проникновение тел друг в друга, нужно вставить пружину для моделирования этого контакта. Такой подход прост в реализации, но приводит к ряду серьезных проблем. В частности, очень трудно подобрать жесткость пружины так, чтобы, с одной стороны, объекты не проникали друг в друга слишком глубоко, а с другой — чтобы система не потеряла устойчивость из-за слишком большой жесткости пружин. Еще один подход к обработке столкновений заключается в том, что при обнаружении столкновения время "отматывается" назад, вплоть до точного момента контакта тел (например, с помощью бинарного поиска), затем корректируются положения и скорости тел (по известным из курса физики формулам для столкновений), после чего расчет начинается заново с этого момента времени. И так — для каждого столкновения. Не слишком экономный подход, если предполагается моделировать в реальном времени движение множества тел.

Здесь мы рассмотрим другой подход. Проникшие в препятствие частицы мы будем проецировать за пределы препятствия. Под проецированием мы понимаем перемещение частицы, настолько малое, чтобы только освободить ее от препятствия. Как правило, это предполагает перемещение частицы по направлению нормали к поверхности контакта (препятствия) — отсюда и происхождение термина "проецирование".

Рассмотрим следующий пример. Пусть наш "мир" представляет собой внутренность куба размером (0,0,0)--(1000,1000,1000) и, кроме того, коэффициент восстановления (restitution coefficient) частиц равен нулю (т. е. столкнувшиеся с поверхностью куба частицы не отражаются от нее). Чтобы координаты частиц оставались внутри куба, запишем следующий код, реализующий проецирование:

// Заставляет частицы оставаться внутри куба
void ParticleSystem::SatisfyConstraints() {
   for(int i=0; i<NUM_PARTICLES; i++) { // Для всех частиц
      Vector3& x = m_x[i];
      x = vmin(vmax(x, Vector3(0,0,0)),
         Vector3(1000,1000,1000));
   }
}

(vmax представляет собой покомпонентную операцию вычисления максимума, а vmin — аналогичное вычисление минимума). Это код позволяет обработать как столкновения, так и неподвижные контакты (resting contact) (т. е. случаи, когда точка покоится на поверхности куба), и сохраняет положение всех частиц внутри куба. Прелесть метода Верле в том, что соответствующие изменения в значения скоростей вносятся автоматически. В последующих вызовах TimeStep() скорость уже будет скорректирована так, чтобы не содержать составляющей, перпендикулярной поверхности куба (что соответствует нулевому значению коэффициента восстановления). См. рис.1.

10 шагов по времени для двух частиц

Попробуйте сами проделать эти вычисления — и вы уведите, что не нужно обнулять скорость в направлении, перпендикулярном стенке куба — это происходит "само собой". Описанное может показаться тривиальным, если ограничится моделированием частиц, но основные преимущества метода Верле проявятся, как только мы перейдем к рассмотрению связей и связанных твердых тел. Т. е., прямо сейчас.

Обработка нескольких одновременно наложенных связей методом релаксации

Модель ткани обычно представляет собой систему частиц, соединенных пружинами. Дифференциальные уравнения такой системы построить несложно. Но одно дело построить, и совсем другое — решить. При этом всплывают все те проблемы, что мы имели при использовании штрафных функций: слишком жесткие пружины приводят к тому, что система уравнений сама становиться "жесткой" (stiff system), а это приводит к неустойчивости, если используются простейшие методы численного интегрирования или к медленной работе, если используются методы более совершенные — в обоих случаях головная боль обеспечена. И наоборот, слишком мягкие пружины приводят к тому, что ткань будет выглядеть нереалистично упругой.

Однако самое интересное произойдет, если устремить жесткость пружин к бесконечности: система вдруг становится разрешима даже для весьма простого (и быстрого) метода интегрирования, оставаясь при этом устойчивой. Но прежде чем мы продолжим разговор о ткани, давайте вернемся к предыдущему примеру. Куб, с которым мы имели дело, можно рассматривать как совокупность односторонних (unilateral) связей (т. е. связей, записываемых в форме неравенств) — по одной для каждой стороны куба — которые должны выполняться все время моделирования.

\begin{equation} x_i \geq 0 \ \text{and}\ x_i \leq 1000 \quad (i=1,2,3). \label{eq:C1} \end{equation}

В рассмотренном примере, для того чтобы соблюсти ограничения, накладываемые связями (чтобы частицы оставались внутри куба), достаточно просто спроектировать координаты "вылезших" частиц на поверхность куба. Эта идея описывается следующим псевдокодом:

// Псевдокод, позволяющий выполнить ограничения (1)
for i=1,2,3
   set xi = min{max{xi, 0}, 1000}

Это можно представить себе так, будто частица и поверхность препятствия соединены бесконечно жесткой пружиной, которая, в случае удлинения, мгновенно возвращается к своей нормальной длине, равной нулю.

Расширим нашу модель, добавив к ней стержень длиной 100. Для этого нам понадобится задать две частицы (\(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\)) и потребовать, чтобы расстояние между ними всегда было равно 100. Математическая запись этой двухсторонней (bilateral) связи имеет вид:

\begin{equation} |\vec{x}_2-\vec{x}_1| = 100. \label{eq:C2} \end{equation}

Даже если в начальный момент времени положения частиц удовлетворяют условиям \eqref{eq:C2}, то уже в следующий момент эти условия, скорее всего, выполняться не будут. Для того чтобы получить корректное значение расстояния, переместим частицы, проецируя их на множество решений, описанных \eqref{eq:C2}. Для этого частицы либо отодвигаются друг от друга, либо подтягиваются ближе, в зависимости от того, мало или велико расстояние, полученное численным интегрированием. См. рис.2.

Перемещение частиц для исправления расстояния, не удовлетворяющего ограничению Перемещение частиц для исправления расстояния, не удовлетворяющего ограничению \eqref{eq:C2}

Псевдокод, реализующий выполнение условий \eqref{eq:C2}:

// Псевдокод для соблюдения ограничений (2)
delta = x2-x1;
deltalength = sqrt(delta*delta);
diff = (deltalength-restlength)/deltalength;
x1 -= delta*0.5*diff;
x2 += delta*0.5*diff;

Заметим, что delta — вектор, а delta*delta — скалярное произведение. Этот псевдокод будет раздвигать или сдвигать частицы так, чтобы добиться требуемого расстояния между ними. И вновь мы можем рассматривать это как бесконечно жесткую пружину, мгновенно возвращающую себе нормальную длину, равную 100.

Теперь предположим, что, помимо условия \eqref{eq:C2}, должно выполняться и условие \eqref{eq:C1} (частицы обязаны находиться внутри куба). Может оказаться, что при попытке соблюсти условие \eqref{eq:C2}, какая-то из частиц стержня нарушит требования \eqref{eq:C1} (стержень будет торчать из куба). Можно, конечно, снова спроектировать частицу-нарушителя на поверхность куба, выполняя \eqref{eq:C1}, но тогда будет нарушено уже \eqref{eq:C2}.

Чтобы удовлетворить одновременно требованиям \eqref{eq:C1} и \eqref{eq:C2} нам нужно решить систему уравнений. Мы это и сделаем, но не напрямую: просто будем повторять два фрагмента псевдокода друг за другом какое-то количество раз, в надежде, что результат окажется полезным. Такой подход реализован в следующем коде:

// реализация моделирования стержня внутри куба
void ParticleSystem::SatisfyConstraints() {
   for(int j=0; j<NUM_ITERATIONS; j++) {
         // Сначала выполним условия (1)
         for(int i=0; i<NUM_PARTICLES; i++) { // Для всех частиц
            Vector3&             x = m_x[i];
               x = vmin(vmax(x, Vector3(0,0,0)),
                  Vector3(1000,1000,1000));
         }
         // Теперь удовлетворим (2)
         Vector3& x1 = m_x[0];
         Vector3& x2 = m_x[1];
         Vector3 delta = x2-x1;
         float deltalength = sqrt(delta*delta);
         float diff = (deltalength-restlength)/deltalength;
         x1 -= delta*0.5*diff;
         x2 += delta*0.5*diff;
   }
}

(здесь опущена инициализация частиц). Хотя такой способ "тупого" повторения и может показаться несколько наивным, тем не менее, он сходится к решению, которое мы ищем! В математике он называется методом релаксации (или Якоби, или Гаусса-Зейделя — в зависимости от того, как именно вы это делаете, см. [Press]). Он работает, последовательно удовлетворяя отдельные ограничения, и сходится к глобальной конфигурации, которая удовлетворяет всем ограничениям одновременно. Этот метод очень полезен в ситуациях, когда должны одновременно выполняться несколько независимых ограничений.

Число необходимых итераций зависит от моделируемой системы и характера движения. Можно сделать выбор этого числа адаптируемым, измеряя изменение, произошедшее относительно предыдущей итерации. Если мы остановим итерации слишком рано, результат будет недостаточно точным, но, благодаря методу Верле, в следующем кадре он, вероятно, будет чуть лучше, а в следующем кадре — еще лучше, и т. д. Это означает, что преждевременная остановка релаксации не уничтожит анимацию полностью, но сделает картинку более дерганой.

Моделирование ткани

Тот факт, что связь типа стержня можно рассматривать как очень жесткую пружину, позволяет использовать этот вид связей для моделирования тканей. Предположим, например, что ткань представляется шестиугольной сеткой, состоящей из треугольников. Каждый узел сетки представляет собой частицу, а каждая грань — связь типа стержня, соединяющую частицы (нормальная длина стержня равна расстоянию между соединяемыми им узлами).

Функция HandleConstraints(), отвечающая за обработку связей, использует релаксацию по всем ограничениям. Цикл релаксации может повторятся несколько раз. Однако, чтобы получить хорошо выглядящую анимацию, в большинстве случаев достаточно всего одной итерации. Это означает, что расход времени в симуляции ткани зависит в основном от того, как долго выполняются \(N\) операций вычисления квадратного корня и \(N\) делений (где \(N\) — число ребер в сетке, моделирующей ткань). Ниже мы покажем один трюк, позволяющий избавиться от вычисления квадратного корня. Но сначала рассмотрим как выглядит обработка ограничений.

// Реализация моделирования тканей
struct Constraint {
   int particleA, particleB;
   float restlength;
};
// Предположим, что массив ограничений m_constraints уже существует
   void ParticleSystem::SatisfyConstraints() {
      for(int j=0; j<NUM_ITERATIONS; j++) {
         for(int i=0; i<NUM_CONSTRAINTS; i++) {
         Constraint& c = m_constraints[i];
         Vector3& x1 = m_x[c.particleA];
         Vector3& x2 = m_x[c.particleB];
         Vector3 delta = x2-x1;
         float deltalength = sqrt(delta*delta);
         float diff=(deltalength-c.restlength)/deltalength;
         x1 -= delta*0.5*diff;
         x2 += delta*0.5*diff;
      }

      // Прикрепим одну из частиц, составляющих ткань, к началу координат
      m_x[0] = Vector3(0,0,0);
   }
}

Теперь обсудим, как избавиться от вычисления квадратного корня. Если все ограничения соблюдены (ну, или почти соблюдены), то, как мы уже знаем, результат вычисления квадратного корня стремится к \(r\) — нормальной длине связи (стержня). Мы используем этот факт чтобы получить приближенное выражение для функции квадратного корня. Заменим функцию \(\sqrt{x}\) членом 1-го порядка из ее разложения в ряд Тейлора в окрестности длины \(r\) (это эквивалентно одной итерации метода Ньютона-Рафсона с начальным приближением \(r\)). После некоторых преобразований, получим следующий псевдокод:

// Псевдокод для соблюдения ограничений (2), использующий приближение sqrt
delta = x2-x1;
delta*=restlength*restlength/(delta*delta+restlength*restlength)-0.5;
x1 -= delta;
x2 += delta;

Обратите внимание, что если расстояние уже удовлетворяет ограничениям (т. е., если |delta|=restlength), то мы получим delta равное (0,0,0) и никаких изменений не произойдет.

Теперь при обработке каждой связи мы больше не используем квадратные корни. Кроме того, квадрат значения restlength * restlength можно вычислить заранее. Трудоемкие операции сокращены до выполнения \(N\) делений за кадр (и доступа к соответствующей памяти) — трудно придумать что-то, работающее существенно быстрее.

Ограничения не обязательно будут удовлетворены за одну итерацию, но, благодаря методу Верле, система быстро сходится к правильному состоянию (когда все ограничения соблюдены) — буквально за несколько кадров. На самом деле, использование только одной итерации и аппроксимации квадратного корня снимает проблему жесткости системы уравнений, которая обязательно проявилась бы у системы с абсолютно жесткими стержнями.

Размещая связи-стержни между парами соседних вершин, можно распространить алгоритм моделирования ткани на моделирование растений.

Код и уравнения, рассмотренные в этом разделе предполагают, что все частицы имеют одинаковую массу. Тем же способом можно моделировать и частицы с разными массами, но полученные уравнения будут немного сложнее.

Так, соблюдение ограничения \eqref{eq:C2} для частиц с разными массами реализует следующий псевдокод:

// Псевдокод для соблюдения ограничений (2)
delta = x2-x1;
deltalength = sqrt(delta*delta);
diff = (deltalength-restlength)
      /(deltalength*(invmass1+invmass2));
x1 -= invmass1*delta*diff;
x2 += invmass2*delta*diff;

Здесь invmass1 и invmass2 хранят обратные массы частиц \(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\). Если мы хотим, чтобы частица оставаться неподвижной, нужно установить для нее invmass = 0, что соответствует бесконечной массе. Как и выше, для ускорения расчетов можно использовать приближенное вычисление квадратного корня.

Твердые тела

Уравнения движения твердых тел были предложены задолго до изобретения современных компьютеров. Для того, чтобы в те времена получить какие-то полезные результаты, математики должны были выполнять преобразования формул. Это привело к появлению таких полезных понятий и инструментов, как тензор инерции, момент импульса, момент сил, кватернионы для представления ориентации и т. п. Между тем, имеющиеся сейчас возможности обрабатывать огромные объемы данных в цифровой форме позволяют проводить расчеты для более простых элементов, а в некоторых случаях даже делают такие расчеты более выгодными. В случае трехмерных твердых тел, это означает, что может оказаться удобным моделировать твердое тело с помощью четырех частиц и шести связей (дающих правильное количество степеней свободы: \(4 \cdot 3 - 6 = 6\)). Это упрощает множество вещей, и именно этим мы займемся далее.

Рассмотрим тетраэдр, в каждую из четырех вершин которого помещена частица. Кроме того, каждое из шести ребер тетраэдра представляет собой ограничение типа стержня, рассмотренное в предыдущем разделе. Этого вполне достаточно, чтобы имитировать твердое тело. Тетраэдр можно поместить внутрь куба, рассмотренного выше, и интегратор Верле обеспечит его правильное движение. Функция SatisfyConstraints() должна позаботиться о двух вещах: 1) чтобы частицы оставались внутри куба, и 2) чтобы были соблюдены шесть ограничений-стержней. Сделать это, как и раньше, можно с использованием релаксации: обычно достаточно 3-х--4-х итераций. Не забывайте также об эффективном вычислении квадратного корня.

Однако ясно, что при столкновениях твердые тела будут вести себя не так как "скелетные" тетраэдры. Существует и другая проблема: до сих пор мы обнаруживали факт столкновения между твердым телом и окружающим "миром" только на основе информации о вершинах: если вершина оказывалась вне куба, она снова проектировалась вовнутрь. Это прекрасно работает, пока внутренняя часть "мира" выпукла. Если же это не так, то тетраэдр сможет проникнуть сквозь границу "мира" даже когда ни одна из его вершин эту границу не пересекала (см. рис.3, где треугольник представляет собой плоский аналог тетраэдра). Рассмотрим, как решается эта проблема.

Тетраэдр и кубический "мир", проникающие друг в друга

Сначала разберем более простой вариант задачи. Возьмем стержень, поместим его в кубический "мир" и предположим, что у куба есть небольшой выступ, направленный внутрь. Теперь стержень может пересечь границы "мира", хотя обе частицы на его концах остаются внутри куба (рис.4). Мы не будем вдаваться в тонкости разработки механизма обнаружения столкновений (collision detection), так как это целая отдельная наука. Вместо этого предположим, что подсистема обнаружения столкновений уже существует и делает свое дело: позволяет определить глубину проникновения и координаты точек проникновения для каждого из двух сталкивающихся объектов. Одно из определений точек проникновения и глубины проникновения звучит так: глубина проникновения \(d_p\) — это кратчайшее расстояние, на которое нужно развести два объекта в подходящем направлении, чтобы избежать их столкновения. Точки проникновения — это точки на каждом из объектов, которыми объекты касаются друг друга после того, как упомянутый выше перенос состоялся.

Стержень, проникающий через границу "мира"

Взгляните еще раз на рис.4. Здесь, после этапа численного интегрирования, стержень проник через границу. Детектор столкновений определил две точки проникновения: \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\). На рис.4а, точка \(\vec{p}\) фактически совпадает с одной из концевых частиц: \(\vec{p}=\vec{x}_1\). На рис.4б, \(\vec{p}\) лежит между \(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\) на расстоянии 1/4 длины стержня от \(\vec{x}_1\). В обоих случаях, точка \(\vec{p}\) лежит на стержне и, следовательно, ее координаты могут быть выражены в виде линейной комбинации координат точек \(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\): \(\vec{p} = c_1\vec{x}_1 + c_2\vec{x}_2\) такой, что \(c_1 + c_2 = 1\). В первом случае \(c_1 = 1\), \(c_2 = 0\), а во втором — \(c_1 = 0.75\) и \(c_2 = 0.25\). Эти значения говорят нам, на какое расстояние нужно передвинуть соответствующие частицы.

Чтобы скорректировать положение стержня, переместим его так, чтобы точка \(\vec{p}\) совпала с \(\vec{q}\). Для этого передвинем частицы \(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\) в направлении, заданном вектором, соединяющим \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\): \(\vec{\Delta} = \vec{q}-\vec{p}\).

В первом случае (рис.4а), мы просто cпроектируем \(\vec{x}_1\) за пределы области, где ей "запрещено" находиться, также как это делали раньше (в направлении \(\vec{q}\)). Этого будет достаточно, а координаты \(\vec{x}_2\) вообще не нужно изменять. Во втором случае (рис.4б) точку \(\vec{x}_1\) также нужно перенести на большее расстояние, чем \(\vec{x}_2\), поскольку точка \(\vec{p}\) расположена ближе к \(\vec{x}_1\) (действительно, так как \(\vec{p} = 0.75\vec{x}_1 + 0.25\vec{x}_2\), то всякий раз перемещая \(\vec{x}_1\) на величину 0.75, мы перемещаем \(\vec{x}_2\) только на 0.25). Другими словами, новые положения частиц \(\vec{x}_1^\prime\) и \(\vec{x}_2^\prime\) задаются соотношениями

\begin{equation} \begin{aligned} \vec{x}_1^\prime &= \vec{x}_1 + 0.75\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_2^\prime &= \vec{x}_2 + 0.25\lambda\cdot\vec{\Delta}, \end{aligned} \label{eq:x_new} \end{equation}

где \(\lambda\) — неизвестная величина. Новое положение частицы \(\vec{p}\)\(\vec{p}^\prime\) — вычисляется по формуле

$$ \vec{p}^\prime = c_1\vec{x}_1^\prime + c_2\vec{x}_2^\prime . $$

Вспомним, что мы хотим добиться, чтобы \(\vec{p}^\prime = \vec{q}\), т. е. должны выбрать \(\lambda\) в точности таким, чтобы \(\vec{p}^\prime\) в результате совпало с \(\vec{q}\). Так как мы перемещаем частицы только в направлении \(\vec{\Delta}\), то \(\vec{p}\) также перемещается в направлении \(\vec{\Delta}\) и, следовательно, решение уравнения \(\vec{p}^\prime = \vec{q}\) можно найти, выразив \(\lambda\) из

\begin{equation} \vec{p}^\prime\cdot\vec{\Delta} = \vec{q}\cdot\vec{\Delta} . \label{eq:pq} \end{equation}

Расписывая выражение, стоящее в левой части равенства, получим

$$ \begin{aligned} \vec{p}^\prime\cdot\vec{\Delta} &= (0.75\vec{x}_1^\prime + 0.25\vec{x}_2^\prime) \cdot\vec{\Delta} \\ &= (0.75 (\vec{x}_1 + 0.75\lambda\cdot\vec{\Delta}) + 0.25 (\vec{x}_2 + 0.25\lambda\cdot\vec{\Delta}) ) \cdot\vec{\Delta} \\ &= ( (0.75\vec{x}_1 + 0.25\vec{x}_2)\cdot\vec{\Delta} + \lambda(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2 \\ &= \vec{p} \cdot\vec{\Delta} + \lambda(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2 , \end{aligned} $$

что, с учетом правой части \eqref{eq:pq}, дает

$$ \lambda = \frac{(\vec{p}-\vec{q}) \cdot\vec{\Delta}}{(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2} . $$

Подставляя найденное \(\lambda\) в \eqref{eq:x_new}, получим скорректированные положения частиц \(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\), при которых \(\vec{p}^\prime\) совпадет с \(\vec{q}\).

На рис.5 показано положение, возникшее после перемещения частиц. Взаимного проникновения объектов теперь нет, но зато нарушено требование неизменности длины стержня. Чтобы это исправить, сделаем еще одну итерацию цикла релаксации (или даже несколько), после чего завершаем цикл исправлений положений частиц.

Исправленные положения частиц для случаев, показанных на рис.4

В случае тетраэдра описанная выше стратегия будет работать аналогично. Сначала находятся точки взаимопроникновения \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) (они также могут находится внутри треугольника) и \(\vec{p}\) представляется линейной комбинацией четырех частиц \(\vec{p}=c_1\vec{x}_1+c_2\vec{x}_2+c_3\vec{x}_3+c_4\vec{x}_4\) таких, что \(c_1+c_2+c_3+c_4=1\) (это потребует решения небольшой системы линейных уравнений). После того, как будет найден \(\vec{\Delta} = \vec{q}-\vec{p}\), можно будет найти значение \(\lambda\) по формуле

$$ \lambda = \frac{(\vec{p}-\vec{q}) \cdot\vec{\Delta}}{(c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2)\cdot\Delta^2} , $$

а исправленные положения частиц определяются как

$$ \begin{align*} \vec{x}_1^\prime &= \vec{x}_1 + c_1\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_2^\prime &= \vec{x}_2 + c_2\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_3^\prime &= \vec{x}_3 + c_3\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_4^\prime &= \vec{x}_4 + c_4\lambda\cdot\vec{\Delta}. \end{align*} $$

Итак, мы рассмотрели столкновение одного твердого тела с неподвижным "миром". Описанный выше метод можно легко обобщить для обработки столкновений нескольких твердых тел. При этом столкновения обрабатываются для одной пары тел в один момент времени и, вместо того, чтобы перемещать только \(\vec{p}\), понадобится перемещать \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) по направлению друг к другу.

И вновь, после корректировки положений частиц во избежание взаимного проникновения тел, необходимо позаботиться о выполнении еще шести ограничений — неизменности расстояний между частицами, составляющими твердое тело. С помощью этого метода, тетраэдр можно даже вложить внутрь другого объекта, который удобнее использовать вместо самого тетраэдра при обработке столкновений. На рис.6 показан тетраэдр, помещенный в куб.

Тетраэдр, помещенный внутрь другого объекта для упрощения обработки столкновений

Во-первых, куб должен быть каким-то образом прикреплен к тетраэдру. Один из подходов состоит в том, что в качестве центра куба выбирается центр масс тетраэдра \(0.25\cdot (\vec{x}_1 + \vec{x}_2 + \vec{x}_3 + \vec{x}_4)\), а затем по текущим координатам тетраэдра вычислить координаты вершин куба. При обнаружении столкновения, точка контакта \(\vec{p}\) (которая теперь расположена на кубе) обрабатывается также, как и выше. Аналогично вычисляются и обновленные значения координат частиц. Для ускорения расчетов можно заранее вычислить коэффициенты \(c_1\)--\(c_4\) для всех вершин куба. Если \(\vec{p}\) окажется вершиной, то значения \(c_1\)--\(c_4\) могут быть найдены и использованы непосредственно. В противном случае, \(\vec{p}\) лежит внутри треугольника или на одной из его сторон, и значения \(c_1\)--\(c_4\) можно получить из предварительно вычисленных значений вершин треугольника при помощи интерполяции.

Как правило, для обработки столкновений достаточно 3--4 итераций. Если релаксацию остановить слишком рано, то тела не будут вести себя как абсолютно твердые. Но это даже хорошо, ведь абсолютно твердых тел в природе не существует. Кроме того, это делает систему более устойчивой.

При перестановке положений частиц, составляющих тетраэдр, физические свойства тела должны быть изменены соответствующим образом (математически это означает, что изменяется тензор инерции тела, зависящий от положений и масс частиц).

По тому же принципу, что и тетраэдр, можно задать другую подобную конфигурацию частиц и связей, расположив частицы в точках с координатами \((0,0,0)\), \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) и \((0,0,1)\). Пусть \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), и \(\vec{c}\) — векторы, направленные из частицы 1 к частицами 2, 3 и 4, соответственно. Ограничим положения частиц, требованием, чтобы векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), и \(\vec{c}\) имели единичную длину, и угол между каждой из трех пар векторов был равен \(90^\circ\) (соответствующие скалярные произведения должны быть равны нулю). Заметим, что это снова, как и в случае с тетраэдром, даст 4 частицы и 6 связей.

Сочлененные тела

Теперь мы можем соединять несколько твердых тел при помощи шарниров (цилиндрических, сферических и т. п.). Предположив, что два тела имеют одну общую частицу, мы получим сферический шарнир (pin joint), а если общими являются две частицы, то получим цилиндрический шарнир (hinge) (рис.7). Таким же образом можно связать два тела при помощью стержня или любого другого вида связи — надо только не забыть добавить код для обработки нового вида связи в цикл релаксации.

Соединение тел с помощью: а) сферического шарнира; б) цилиндрического шарнира

Такой подход позволяет построить полную модель сочлененного человеческого тела. Реалистичность увеличится, если дополнительно реализовать ограничения на угловые перемещения в шарнирах. Существует несколько способов реализации таких ограничений. Простейший способ предполагает использование ограничения типа стержня, которые срабатывает только тогда, когда расстояние между двумя частицами станет ниже некоторого порогового значения (в данном случае мы имеем дело с односторонней связь вида \(|\vec{x}_2 - \vec{x}_1| > 100\)). Как следствие этого, обе частицы никогда не смогут слишком приблизиться друг к другу (рис.8).

Два стержня, соединенные шарниром с ограничением (отмечено штриховой линией)

Другой метод создания ограничений на угловые перемещения требует соблюдения следующего условия для скалярного произведения

$$ (\vec{x}_2 - \vec{x}_0)\cdot (\vec{x}_1 - \vec{x}_0) < \alpha . $$

Можно также ограничить перемещение частицы определенной плоскостью. И вновь, положения частиц, не удовлетворяющие заданным ограничениям, должны быть скорректированы. Делается это аналогично случаю стержня, хотя соответствующие формулы будут немного сложнее.

Комментарии

Управление движением

Чтобы повлиять на движение моделируемого объекта, нужно просто соответствующим образом переместить частицы, из которых состоит объект. Если человека толкнули в плечо (или туда попала пуля), то нужно переместить частицы плеча в направлении толчка на расстояние, пропорциональное силе толчка. Тогда интегратор Верле автоматически приведет плечо в движение.

В моделировании можно легко использовать скорости, "унаследованные" от традиционной системы анимации. Просто сохраните положения частиц для двух кадров, а затем передайте их в интегратор Верле, который автоматически продолжит изображенное на кадрах движение. Бомбы можно реализовать, "разбросав" частицы системы на расстояния, обратно пропорциональные квадрату расстояния между положением частицы до взрыва и центром бомбы.

Можно закрепить определенную конечность, скажем руку, фиксируя ее положении в пространстве. Для этого внутри цикла релаксации нужно поддерживать заданную частицу (или множество частиц) в нужном вам положении. Присвоение частице бесконечной массы (invmass = 0) позволяет сделать эту частицу неподвижной.

Обработка трения

До сих пор мы не рассматривали трение. Если мы его не введем, то частицы будут скользить по полу так, будто он сделан изо льда. В соответствии с моделью кулоновского трения, сила трения зависит от величины нормальной силы между контактирующими объектами. Чтобы реализовать эту модель, измерим глубину проникновения \(d_p\) при контакте (до того как спроектировать точку проникновения из препятствия). После проектирования частицы на поверхность, ее тангенциальная скорость \(\vec{v}_\tau\) уменьшается на величину, пропорциональную \(d_p\) (коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения). Это достигается путем соответствующего изменения \(\vec{x}^*\) (cм. рис.9). Следует проявлять осторожность, чтобы тангенциальная скорость не поменяла своего направления на обратное — в этом случае нужно просто приравнять ее нулю, так как это означает, что точка проникновения не в состоянии двигаться по касательной.

Столкновение с обработкой трения (проецирование и изменение тангенциальной скорости)

Обнаружение столкновений

Одно из узких мест в рассмотренном здесь реалистичном моделировании физики состоит в проблеме обнаружения столкновений, проверка на которое потенциально выполняется несколько раз за цикл релаксации. Можно, в частности, задавать разное количество итераций для разных видов связей, и при этом получать хорошие результаты.

Для предотвращения проникновения быстро движущихся объектов сквозь препятствия (из-за слишком большего шага по времени) выполняется простой тест. Представьте себе линию (или цилиндр надлежащего радиуса), начало которой находится в середине объекта на предыдущем кадре, а конец — в середине объекта на текущем кадре. Если эта линия пересекает что-либо, то положение объекта устанавливается в точке пересечения (столкновения). Хотя теоретически это может привести к проблемам, но на практике отлично работает.

Разное

Количество итераций релаксации, использовавшееся нами, варьируется от 1 до 10 в зависимости от вида моделируемого объекта. Хотя этого не достаточно, чтобы точно решить глобальную систему ограничений, но вполне достаточно, чтобы движение казалось естественным. Самое прекрасное в этом подходе то, что погрешности не накапливаются (и объект не выглядит дрейфуюшим из кадра в кадр) — в каком-то смысле сочетание проекции и метода Верле позволяет распределить сложный расчет по нескольким кадрам (другие схемы должны использовать методы стабилизации, например стабилизацию Баумгарта (Baumgarte)). К счастью, эти неточности минимальны (или их нет) когда перемещение невелико, и максимальны для больших перемещений — это хорошо, поскольку быстрое или сложное движение маскирует небольшие неточностей от человеческого глаза.

Можно попробовать реализовать мягкие (деформируемые) тела при помощи «мягких» ограничений, то есть ограничений, которым разрешено иметь некоторый процент отклонения от полностью "исправленного" состояния. Допустим, длина стержня, соединяющего частицы, равна 100, но фактическое расстояние между частицами составляет 60. Код релаксации может сначала довести это расстояние до 80 (вместо 100), на следующем кадре — до 90, затем до 95, 97.5 и т. д.

Для тех, кому интересна математическая основа представленных здесь методов, заметим, что то, что мы делаем — это пошаговый (time-stepping) подход к решению дифференциальных включений (варианта дифференциальных уравнений), с помощью простейшего варианта алгоритма внутренних точек (interior-point algorithm) (см. [Stewart], где обсуждается подобный подход). При попытке удовлетворить ограничениям, мы фактически проектируем состояние системы на многообразие (manifold), задаваемое связями. Это, в свою очередь, делается путем решения системы линейных уравнений. Линейные уравнения или код, обрабатывающий связи, могут быть получены путем вывода якобиана функций связей. В этой статье релаксация представлена как неявный метод решения системы. Хотя мы не касались этой темы, но иногда бывает полезно изменять коэффициент релаксации или даже использовать сверхрелаксацию (over-relaxation) (см. подробности в [Press]). Так как решатели, использующие релаксацию, иногда сходятся медленно, можно также построить систему уравнений в явном виде и использовать другие методы для ее решения (например, метод сопряженных градиентов для разреженных матриц с предусловием (preconditioning), используя результаты предыдущего кадра).

Обратите внимание, что метод интегрирования Верле существует в нескольких вариантах: метод "чехарды" (leapfrog method) и метод Верле для скорости (velocity Verlet). Используя тот или иной вариант можно попытаться добиться большей точности.

Особенности, в частности, деление на ноль (что, как правило, вызвано совпадением частиц), могут быть обработаны небольшим смещением таких частиц в случайно выбранных направлениях.

Ссылки

Текст статьи в PDF



Комментарии

comments powered by Disqus